Contoh Modul Bab Pola Bilangan (Bantuan AI)

Modul Bab Pola Bilangan

Mata Pelajaran: Matematika Kelas: VIII (Delapan) Semester: 1 (Satu)

A. Pendahuluan

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki keteraturan bentuk. Mempelajari pola bilangan akan membantu kita dalam memprediksi bilangan selanjutnya, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret, serta mengembangkan kemampuan berpikir logis dan analitis. Dalam modul ini, kita akan mempelajari berbagai jenis pola bilangan, cara menentukan suku ke-n, dan menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan pola bilangan.

B. Kompetensi Dasar

Menentukan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek.

C. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa mampu:

Mengidentifikasi berbagai jenis pola bilangan (aritmetika, geometri, persegi, persegi panjang, segitiga, Fibonacci, dll.).
Menentukan suku selanjutnya dari suatu pola bilangan.
Menentukan rumus suku ke- $n$ dari suatu pola bilangan.
Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan pola bilangan.

D. Materi Pembelajaran

1. Pengertian Pola Bilangan

Pola bilangan adalah daftar bilangan yang tersusun menurut pola atau aturan tertentu. Setiap bilangan dalam pola disebut suku.

Contoh: 2, 4, 6, 8, ... (Pola bilangan genap) 1, 3, 5, 7, ... (Pola bilangan ganjil)

2. Jenis-jenis Pola Bilangan

a. Pola Bilangan Ganjil Adalah pola bilangan yang suku-sukunya merupakan bilangan ganjil. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $2 n - 1$ Contoh: 1, 3, 5, 7, 9, ... $U_{1} = 2 (1) - 1 = 1$ $U_{2} = 2 (2) - 1 = 3$

b. Pola Bilangan Genap Adalah pola bilangan yang suku-sukunya merupakan bilangan genap. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $2 n$ Contoh: 2, 4, 6, 8, 10, ... $U_{1} = 2 (1) = 2$ $U_{2} = 2 (2) = 4$

c. Pola Bilangan Persegi Adalah pola bilangan yang suku-sukunya merupakan hasil kuadrat dari bilangan asli. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $n^{2}$ Contoh: 1, 4, 9, 16, 25, ... $U_{1} = 1^{2} = 1$ $U_{2} = 2^{2} = 4$

d. Pola Bilangan Persegi Panjang Adalah pola bilangan yang suku-sukunya merupakan hasil kali dua bilangan asli berurutan. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $n (n + 1)$ Contoh: 2, 6, 12, 20, 30, ... $U_{1} = 1 (1 + 1) = 1 (2) = 2$ $U_{2} = 2 (2 + 1) = 2 (3) = 6$

e. Pola Bilangan Segitiga Adalah pola bilangan yang suku-sukunya merupakan jumlah bilangan asli berurutan. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ Contoh: 1, 3, 6, 10, 15, ... $U_{1} = \frac{1 ( 1 + 1 )}{2} = \frac{1 ( 2 )}{2} = 1$ $U_{2} = \frac{2 ( 2 + 1 )}{2} = \frac{2 ( 3 )}{2} = 3$

f. Pola Bilangan Fibonacci Adalah pola bilangan yang suku selanjutnya merupakan jumlah dari dua suku sebelumnya, dimulai dari 0 dan 1, atau 1 dan 1. Contoh: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... $U_{3} = U_{1} + U_{2} = 0 + 1 = 1$ $U_{4} = U_{2} + U_{3} = 1 + 1 = 2$

g. Pola Bilangan Aritmetika (Barisan Aritmetika) Adalah pola bilangan yang memiliki selisih (beda) yang tetap antara dua suku yang berurutan. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $a + (n - 1) b$ Dimana: $a$ = suku pertama $b$ = beda (selisih antara suku-suku)

h. Pola Bilangan Geometri (Barisan Geometri) Adalah pola bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) yang tetap antara dua suku yang berurutan. Rumus Suku ke- $n$ ( $U_{n}$ ): $a r^{n - 1}$ Dimana: $a$ = suku pertama $r$ = rasio (perbandingan antara suku-suku)

3. Menentukan Suku ke- $n$ dari Suatu Pola Bilangan

Untuk menentukan suku ke- $n$ dari suatu pola bilangan, kita perlu mengidentifikasi pola atau aturan yang berlaku pada barisan bilangan tersebut.

Identifikasi beda atau rasio: Jika bedanya tetap, kemungkinan barisan aritmetika. Jika rasionya tetap, kemungkinan barisan geometri.
Perhatikan pola kuadrat, kubik, atau kombinasi: Jika bukan aritmetika atau geometri, coba cari pola lain seperti persegi, persegi panjang, segitiga, atau kombinasi dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian.

E. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1: Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 3, 7, 11, 15, ...

Pembahasan:

Perhatikan selisih antar suku: $7 - 3 = 4$ $11 - 7 = 4$ $15 - 11 = 4$
Selisihnya tetap yaitu 4. Ini adalah barisan aritmetika dengan beda $b = 4$ .
Tiga suku berikutnya: $15 + 4 = 19$ $19 + 4 = 23$ $23 + 4 = 27$
Jadi, tiga suku berikutnya adalah 19, 23, 27.

Contoh Soal 2: Tentukan rumus suku ke- $n$ dari barisan bilangan 2, 6, 10, 14, ...

Pembahasan:

Perhatikan selisih antar suku: $6 - 2 = 4$ $10 - 6 = 4$ $14 - 10 = 4$
Selisihnya tetap yaitu 4. Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 2$ dan beda $b = 4$ .
Rumus suku ke- $n$ untuk barisan aritmetika adalah $U_{n} = a + (n - 1) b$ .
Substitusikan nilai $a$ dan $b$ : $U_{n} = 2 + (n - 1) 4$ $U_{n} = 2 + 4 n - 4$ $U_{n} = 4 n - 2$
Jadi, rumus suku ke- $n$ adalah $U_{n} = 4 n - 2$ .

Contoh Soal 3: Tentukan suku ke-7 dari pola bilangan persegi.

Pembahasan:

Pola bilangan persegi memiliki rumus suku ke- $n$ adalah $U_{n} = n^{2}$ .
Untuk mencari suku ke-7 ( $n = 7$ ), substitusikan $n = 7$ ke dalam rumus: $U_{7} = 7^{2} = 49$
Jadi, suku ke-7 dari pola bilangan persegi adalah 49.

Contoh Soal 4: Suatu barisan bilangan memiliki pola 1, 2, 4, 8, ... Tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut.

Pembahasan:

Perhatikan perbandingan antar suku: $2 \div 1 = 2$ $4 \div 2 = 2$ $8 \div 4 = 2$
Rasionya tetap yaitu 2. Ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 1$ dan rasio $r = 2$ .
Rumus suku ke- $n$ untuk barisan geometri adalah $U_{n} = a r^{n - 1}$ .
Untuk mencari suku ke-6 ( $n = 6$ ), substitusikan nilai $a$ , $r$ , dan $n$ : $U_{6} = 1 \cdot 2^{6 - 1}$ $U_{6} = 1 \cdot 2^{5}$ $U_{6} = 1 \cdot 32$ $U_{6} = 32$
Jadi, suku ke-6 dari barisan tersebut adalah 32.

Contoh Soal 5: Gambar di bawah menunjukkan pola susunan korek api.

Pola 1: 3 korek api Pola 2: 5 korek api Pola 3: 7 korek api

Berapa banyak korek api pada pola ke-10?

Pembahasan:

Perhatikan jumlah korek api pada setiap pola: 3, 5, 7, ...
Selisih antar suku: $5 - 3 = 2$ $7 - 5 = 2$
Selisihnya tetap yaitu 2. Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 3$ dan beda $b = 2$ .
Rumus suku ke- $n$ adalah $U_{n} = a + (n - 1) b$ .
Untuk mencari jumlah korek api pada pola ke-10 ( $n = 10$ ): $U_{10} = 3 + (10 - 1) 2$ $U_{10} = 3 + (9) 2$ $U_{10} = 3 + 18$ $U_{10} = 21$
Jadi, banyak korek api pada pola ke-10 adalah 21 buah.

F. Latihan Soal

Petunjuk: Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti dan tunjukkan langkah-langkah penyelesaiannya.

Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan berikut: a. 5, 10, 15, 20, ... b. 64, 32, 16, 8, ... c. 1, 4, 9, 16, ... (Pola bilangan persegi)
Tentukan rumus suku ke- $n$ dari barisan bilangan berikut: a. -1, 3, 7, 11, ... b. 3, 6, 12, 24, ...
Tentukan suku ke-8 dari pola bilangan ganjil.
Tentukan suku ke-12 dari pola bilangan segitiga.
Jika pola susunan bola pada gambar berikut adalah: Pola 1: 1 bola Pola 2: 3 bola Pola 3: 6 bola Tentukan banyak bola pada pola ke-7.
Suatu barisan bilangan memiliki rumus suku ke- $n$ adalah $U_{n} = 5 n - 2$ . Tentukan suku ke-5 dan suku ke-10 dari barisan tersebut.
Dalam sebuah gedung pertemuan, kursi diatur dalam baris-baris. Baris pertama terdapat 10 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 18 kursi, dan seterusnya. Jika ada 8 baris kursi, berapa banyak kursi pada baris terakhir?

G. Kunci Jawaban Latihan Soal

Tiga suku berikutnya: a. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 (beda = 5) b. 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 (rasio = 1/2) c. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ( $n^{2}$ )
Rumus suku ke- $n$ : a. -1, 3, 7, 11, ... Beda ( $b$ ) = $3 - (- 1) = 4$ . Suku pertama ( $a$ ) = -1. $U_{n} = a + (n - 1) b$ $U_{n} = - 1 + (n - 1) 4$ $U_{n} = - 1 + 4 n - 4$ $U_{n} = 4 n - 5$ b. 3, 6, 12, 24, ... Rasio ( $r$ ) = $6 \div 3 = 2$ . Suku pertama ( $a$ ) = 3. $U_{n} = a r^{n - 1}$ $U_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$
Suku ke-8 dari pola bilangan ganjil: Rumus $U_{n} = 2 n - 1$ $U_{8} = 2 (8) - 1 = 16 - 1 = 15$
Suku ke-12 dari pola bilangan segitiga: Rumus $U_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $U_{12} = \frac{12 ( 12 + 1 )}{2} = \frac{12 ( 13 )}{2} = 6 \cdot 13 = 78$
Banyak bola pada pola ke-7: Pola: 1, 3, 6, ... Ini adalah pola bilangan segitiga. Rumus $U_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $U_{7} = \frac{7 ( 7 + 1 )}{2} = \frac{7 ( 8 )}{2} = \frac{56}{2} = 28$ Jadi, banyak bola pada pola ke-7 adalah 28 buah.
Suku ke-5 dan suku ke-10 dari $U_{n} = 5 n - 2$ : $U_{5} = 5 (5) - 2 = 25 - 2 = 23$ $U_{10} = 5 (10) - 2 = 50 - 2 = 48$
Banyak kursi pada baris terakhir (baris ke-8): Barisan kursi: 10, 14, 18, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan $a = 10$ dan $b = 14 - 10 = 4$ . Kita mencari $U_{8}$ . $U_{n} = a + (n - 1) b$ $U_{8} = 10 + (8 - 1) 4$ $U_{8} = 10 + (7) 4$ $U_{8} = 10 + 28$ $U_{8} = 38$ Jadi, banyak kursi pada baris terakhir (baris ke-8) adalah 38 kursi.

H. Penutup

Semoga modul ini dapat membantu siswa dalam memahami konsep pola bilangan. Penting untuk terus berlatih dan mencoba berbagai jenis soal agar pemahaman semakin mendalam. Jika ada kesulitan, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman. Selamat belajar!

Contoh Modul Bab Pola Bilangan (Bantuan AI)

Modul Bab Pola Bilangan

A. Pendahuluan

B. Kompetensi Dasar

C. Tujuan Pembelajaran

D. Materi Pembelajaran

1. Pengertian Pola Bilangan

2. Jenis-jenis Pola Bilangan

3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Pola Bilangan

E. Contoh Soal dan Pembahasan

F. Latihan Soal

G. Kunci Jawaban Latihan Soal

H. Penutup

1 Komentar untuk "Contoh Modul Bab Pola Bilangan (Bantuan AI)"

3. Menentukan Suku ke- $n$ dari Suatu Pola Bilangan